一、题目
(2022年全国新高考I卷| $18^{th}$ ) 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .
已知: $\frac{\cos(A)}{1+\sin(A)}=\frac{\sin(2B)}{1+\cos(2B)}$ .
(Ⅰ) 若 $C=\frac{2\pi}{3}$ , 求 $B$ ;
(Ⅱ) 求 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值 .
二、解答
(Ⅰ) 首先观察本体题干 , 我们发现应将 $\sin(2B)$ , $\cos(2B)$ 根据二倍角公式 $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ 、$\cos(2\alpha)=2\cos^{2}(\alpha)-1=1-2\sin^{2}(\alpha)$ 变形 , 再进行恒等变换 , 即可得出 A, B, C 的关系 , 步骤如下 :
由题意 , $\frac{\cos(A)}{1+\sin(A)}=\frac{\sin(2B)}{1+\cos(2B)}=\frac{2\sin(B)\cos(B)}{2\cos^{2}(B)}=\frac{\sin(B)\cos(B)}{\cos^{2}(B)}$ ,
又 $\because 在\triangle ABC中C=\frac{2\pi}{3}$ ,
$\therefore A+B=\frac{\pi}{3}$ ,
即 $B∈(0 , \frac{\pi}{3})$ ,
$\therefore \cos(B)\neq0$ ,
然后等式上下同时约下 $\cos(B)$ ,
即 $\frac{\cos(A)}{1+\sin(A)}=\frac{\sin(B)}{\cos(B)}$ ,
交叉相乘 , 得 $\cos(A)\cos(b)=\sin(B)+\sin(A)\sin(B)$ ,
观察上式 , 出现了 $\sin(A)\sin(B)$ 和 $\cos(A)\cos(B)$ , 不难联想到两角和余弦公式 $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$ ,
$\therefore$ 将上式移项 , 得 $\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)=\sin(B) \Rightarrow\cos(A+B)=\sin(B)$ ,
在 $\triangle ABC$ 中 , $\cos(A+B)=cos(\pi-A)$ ,
由诱导公式 $\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)$ 得 $\cos(A+B)=-\cos(C)$ ,
$\because C=\frac{2\pi}{3}$ ,
$\therefore -\cos(C)=-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ ,
$\therefore$ 原式 $=\sin(B)=-\cos(C)=\frac{1}{2}$ ,
又 $\because B∈(0 , \frac{\pi}{3})$ ,
$\therefore B=\frac{\pi}{6}$ .
1 | 利用三角恒等变换和诱导公式对原式进行化简 , 得到两角的三角函数关系 , 但在析出角关系时 , 易忽略角的范围 . |
(Ⅱ) 由于本小问问题与本题题干描述的分别是 “边” 和 “角” , 所以不妨尝试进行边角互换 , 以下是我给出的两种解题思路 , 步骤如下 :
$1°$ 聚焦 “角”
由 (Ⅰ) 得 , $\sin(B)=-\cos(C)$ , 若我们欲将等式右侧转换为与等式左侧同名的函数(正弦函数) , 则需要逆用诱导公式 $\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=-\cos(\alpha)$ , 但我们观察到有两种变形方向 :
$when \sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-\cos(\alpha) , (C-\frac{\pi}{2})∈(0 , \frac{\pi}{2})\Rightarrow B∈(0 , \frac{\pi}{2}) (*1)$ ,
$when \sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=-\cos(\alpha) , (C-\frac{\pi}{2})∈(2\pi , \frac{5\pi}{2})\Rightarrow B∈(2\pi , \frac{5\pi}{2}) (*2)$ ,
又 $\because B∈(0 , \pi)$ ,
$\therefore 将(*2)舍去$ ,
即 $B∈(0 , \frac{\pi}{2})$ ,
又 $\because f(x)=\sin(x) 在 x∈(0 , \frac{\pi}{2}) 时单调递增$ ,
$\therefore B=C-\frac{\pi}{2}$ ,
又 $\because \sin(A)=\sin(B+C)$ ,
$\therefore \sin(A)=\sin(2C-\frac{\pi}{2})=-\cos(2C)$ ,
由余弦定理 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\sin(C)$ , 得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos(C)$ ,
带入 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 得 $(1+\frac{2ab\cos(C)}{c^{2}})$ ,
再利用正弦定理 $\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$ ,
整理得 $(1+\frac{2\sin(A)\sin(B)\cos(C)}{\sin^{2}(C)})$ ,
又 $\because \sin(B)=-\cos(C) 且 \sin(A)=-cos(2C)$ ,
$\therefore 原式=1+\frac{2\cos(2C)cos^{2}(C)}{sin^{2}(C)}=1+\frac{2(1-2\sin^{2}(C))(1-\sin^{2}(C))}{sin^{2}(C)}=1+2(2\sin^{2}(C)+\frac{1}{sin^{2}(C)}-3)$ ,
再利用基本不等式 $a^{2}+b^{2}\geq2ab (a , b>0 ; 当且仅当 a^{2}=b^{2} 即 a=b 时取等)$ ,
有 $1+2(2\sin^{2}(C)+\frac{1}{sin^{2}(C)}-3)\geq1+2(2\sqrt{2}-3)=2\sqrt{2}-5 , (当且仅当 2\sin^{2}(C)=\frac{1}{sin^{2}(C)} , 即 \sin(C)=\sqrt[4]{\frac{1}{2}} 时取等)$ ,
$\therefore (\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}})=(4\sqrt{2}-5)$ .
$2°$ 聚焦 “次” 与 “名”
$\frac{\cos(A)}{1+\sin(A)}=\frac{cos^{2}(\frac{A}{2})-\sin^{2}(\frac{A}{2})}{(\sin(\frac{A}{2})+cos(\frac{A}{2}))^{2}}=\frac{\cos(\frac{A}{2})-\sin(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})+\cos(\frac{A}{2})}=\frac{1-\tan(\frac{A}{2})}{1+\tan(\frac{A}{2})}=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{A}{2})=\tan(B)$ ,
$\therefore A=\frac{\pi}{2}-2B , C=\frac{\pi}{2}+B$ ,
$\therefore \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin^{2}(A)+\sin^{2}(B)}{\sin^{2}(C)}=\frac{\sin^{2}(\frac{\pi}{2}-2B)+\sin^{2}(B)}{\sin^{2}{(\frac{\pi}{2}+B)}}=4\cos^{2}(B)+\frac{2}{\cos^{2}(B)}-5\geq4\sqrt{2}-5(当且仅当 4\cos^{2}(B)=\frac{2}{cos^{2}(B)} , 即 \cos(B)=\sqrt[4]{\frac{1}{2}} 时取等)$ ,
$\therefore min(\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}})=(4\sqrt{2}-5)$ .
1 | 在求最值的时候运用函数思想 , 一种通过边角互换转换为f(x)=Asin(ωx+φ)再进行求最值 , 第二种是通过换元构造二次函数或其他函数求解 , 要有全局概念 . |
PS: 这次是本人第一次撰写关于数学的文章 , 在能力上仍有诸多不足 , 还望各位多多指出错误或分享更优解 .
- 本文作者： Snowball_233
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